☛ Calculer l'aire entre deux courbes

Énoncé
Soit   $f$  et $g$  deux fonctions définies sur $[-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}]$ par $f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2+3$ et $g(x)=x^2$ .
On appelle  ${\mathcal{C}}_f$ et  ${\mathcal{C}}_g$  les courbes représentatives de $f$ et $g$ dans un repère orthogonal.
On souhaite calculer l'aire hachurée de la partie du plan délimitée par les courbes représentatives de  ${\mathcal{C}}_f$  et ${\mathcal{C}}_g$ et les droites d'équations $x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ et $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ .

1. Étudier la position relative des courbes  ${\mathcal{C}}_f$  et ${\mathcal{C}}_g$ sur $[-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}]$ .

2. En déduire l'aire hachurée.

Solution

1. On étudie le signe de la différence entre $f$  et $g$   sur $[-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}]$ .
On pose $d$ la fonction définie sur $[-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}]$ par  $d(x)=g(x)-f(x)$ .

Pour tout $x$ de   $[-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}]$ , on a  $d(x)={\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^2-3$ .
Pour tout $x$ de   $[-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}]$ , on a 
$d(x)=0\iff {\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^2-3=0\iff x^2={\displaystyle \frac{9}{4}}\iff x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ ou $x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ .

$d$ est une fonction du second degré. On a  ${\displaystyle \frac{4}{3}}>0$ donc $d(x)⩽0$  sur $[-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}]$ .

Sur   $[-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}]$ , on a donc $d(x)⩽0\iff g(x)-f(x)⩽0\iff g(x)⩽f(x)$ .

Donc ${\mathcal{C}}_g$ est en dessous de ${\mathcal{C}}_f$ sur $[-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}]$ .

2. $f$  et $g$ sont deux fonctions continues sur   $[-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}]$ .
On a  $f(x)-g(x)⩾0$ sur   $[-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}]$ .
L'aire hachurée est

$\begin{array}{rcl}I& =& {\displaystyle {\int }_{-1,5}^{1,5}(f(x)-g(x))\text{ d}x={\int }_{-1,5}^{1,5}(-{\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^2+3)\text{ d}x}\\ I& =& {[-{\displaystyle \frac{4}{9}}{x}^3+3x]}_{-1,5}^{1,5}=6\text{ u.a.}\end{array}$